应用四色定理填色的世界地图，图片来源：自然资源部标准地图服务系统
四色问题的起源
尽管阿佩尔与哈肯的研究成果轰动一时，但在当时并没有得到广泛的认可。人们的质疑主要源于对于计算机证明数学问题的不认可。怀疑者们认为阿佩尔与哈肯的方法本质上是一种穷举检验法，他们只是用机器检验了千万种情况，他们的证明细节隐藏在计算机内，人力是无法进行复核的。数学界呼吁给出一份纯粹明了的数学证明。30 年后来自英国剑桥大学的年轻数学家乔治·贡帝埃（Georges Gonthier）给出四色定理的完全计算机化证明，和阿佩尔、哈肯不同的是，他的每一步逻辑证明都由计算机独立完成。经过多年的计算机革命，人们逐渐认可了计算机对于数学工作的帮助，也终于愿意承认——四色定理成立！
广播色数问题：四色问题的推广
数学家们在研究四色猜想的过程中，对其他相关的染色问题也进行了思考。例如最著名的 Hadwiger-Nelson 问题：在一张无限大的平面上进行点染色，使得相邻的点颜色不同。我们今天介绍的是四色问题的另一种变形：Packing染色（Packing coloring）问题，也叫广播染色（Broadcast coloring）问题。这个问题最早是由克莱姆森大学（Clemson University）教授维恩·戈达德（Wayne Goddard）等人提出的，它其实来源于一个非常实际的问题——广播电台的频率分配。
收音机
每个广播电台所发出信号的覆盖面积都是有限的，信号越强的电台它的覆盖范围也越广。收音机的调频（FM）波段很窄，我国的民用收音机调频范围为 FM87.5-108MHz。如果我国每个省市的广播电台都发出不同频率的信号，显然是不切实际的。而两个同频率的电台只有在相距足够远的情况下，它们的信号才不会互相干扰。例如，天津相声广播、沈阳都市广播、泰州交通音乐广播的FM频率均为 92.1MHz；而与天津比邻的北京，为了避免相同信号的叠加干扰，其广播电台频率表中并没有分配 92.1 MHz 的信号波段。
那么如何对不同地区广播电台的频率进行分配，使得我们可以在避免干扰的前提下，用最短的信号波段区间来覆盖全国的广播系统呢？数学家们又是如何用数学的语言来定义这件事呢？
与四色定理类似，给定一个简单无向图 G=(V, E)，我们用一个整数集合 K={1,…,k} 来表示颜色集，用 d(u, ν)来定义两个顶点u, ν之间的距离。考虑映射 f:V→{1,…,k}，它满足对任意两个顶点 u, ν∈V，以及任意的整数 c∈K，如果 f(u)=f(ν)=c（即顶点 u 和 ν 的颜色相同），那么 u, ν 之间的距离 d(u, ν)＞c（也就是说具有相同颜色的两个顶点距离足够远；考虑上文的实际背景，这意味着信号频率相同的广播电台距离足够远）。这样的映射 f 就构成了一个 packing k- 染色方案，能满足 packing 染色方案的最小整数就称为图的 packing 染色数（packing coloring number）χρ(G)。
packing 染色问题其实是在地图着色问题上加了更强的限制。当 K={1} 时，packing 1- 染色问题就是最原始的地图着色问题，即要求相邻两个顶点颜色不同。我们先来看一个简单的例子，考虑下图中的一维整数轴，取图 G=Z={0, ±1, ±2,……} 为整数集，每个整数代表一个顶点，两个相邻的整数记为两个相邻的顶点，两个整数之间的距离定义为他们差值的绝对值。构造映射如下：
因此 d(-2, 2)=4＞3=f(-2)=f(2)。那么此时 χρ(Z)=3。
一维 Packing 3- 染色,图片来源：参考文献[8]
上面的例子仅仅考虑了一维情形，如果我们考虑二维平面整数集 Z2 的染色问题呢？可以想象，对于一个无限大的平面，我们可以把平面划分成一个个网格（就像一个无限大的棋盘一样），定义两个网格之间的距离为它们之间的水平距离加上垂直距离，那么如何对它们进行 packing 染色？
2008 年，戈达德和他的四位合作者首先公开了他们对于这个问题的思考，他们完全用人力计算，得出 9 ≤χρ(Z2)≤ 23；此后又有几位数学家利用计算机辅助证明，逐步将结果优化为 13 ≤χρ(Z2)≤ 15。
2022 年，来自卡耐基梅隆大学的研究生苏威卡塞乌斯（Bernardo Subercaseaux）和教授马金·海勒（Marijn J. H. Heule）两人将这个结果进一步优化为 14 ≤χρ(Z2)≤ 15。2023 年 1 月，他们宣布彻底解决了平面整数集 Z2 的 packing 染色问题——他们在文章中证明 χρ(Z2)= 15，即只用 1-15 这 15 个数字就能填充整个平面网格，并保证两个具有相同数字的网格之间的距离大于这个数字。下面我们就来简单介绍一下他们的思路和方法。
显然，对一个无限网格用穷举法是不现实也不必要的。所以，数学家想到对其中的一小部分进行验证，比如取一个 10×10 的网格，后将其复制拼接，如果依然能够满足对距离的要求，即可得证。
苏威卡塞乌斯和海勒首先从这个角度对图进行了简化，但他们并不是考虑简单的矩形，而是从一个类似于菱形的有限子图 Dr(ν)={u∈Z2/d(u, ν)≤r} 出发，用 Dr, k 表示对子图 Dr[(0, 0)] 进行 k-packing 染色，Dr, k, c 表示对子图 Dr[(0, 0)] 进行 k-packing 染色而且中心点 (0, 0) 赋予颜色 c。如果对于子图 Dr(ν) 可以进行 k-packing 染色，那么一定有 χρ(Z2)≥k；反之 χρ(Z2)≥k+1。不难想象，在 Dr(ν) 这样的有限图中，数字越小出现的次数也就越多；所以在染色过程中可以优先考虑更大的数字的存放位置。比如当 r≤k 时，子图 Dr, k, r 中数字 r 只会在中心点 (0, 0) 出现一次，否则就会破坏我们对于距离的要求。这也是 Dr(ν) 相较于矩形子图的优势。Dr(ν) 其实是一个正四边形，具有很好的对称性，因此苏威卡塞乌斯和海勒把 Dr(ν) 进行八等分（见图 7），在染色时依次把较大的数字放在 1/8 角域里进行排列，这样就避免了对染色方案的重复验证。图 8 的 D3, 7, 3 就是一个很直观的例子。
对Dr(ν) 八等分，图片来源：参考文献[8]
D3, 7, 3 染色，图片来源：参考文献[8]
苏威卡塞乌斯和海勒所做的第二个简化是不再单纯地以格点为一个染色单位。他们在 Dr(ν) 中选取五个相邻的格点，构成一个加号型区域，以这样的加号型区域为一个单位进行染色。也就是说，可以只考虑把某个数字填入这个加号型区域，但暂时不考虑具体放在这个加号型区域的哪个格点。在排列好加号型区域的染色方案后，再对每个格点进行染色。
加号型区域，图片来源：参考文献[8]
正如同行所评价的：苏威卡塞乌斯和海勒不只是在解决问题，他们更是在优化组合学的研究思路。在不懈地努力下，历时四个月，他们最终攻克了平面 packing 染色问题。
尾声
四色定理困扰了数学界一个多世纪，时至今日也没有找到真正纯粹的数学证明。但四色问题的意义已远超这个问题本身，更重要的是在一代代数学家们前赴后继思考的过程中，所衍生出来的对于其他学科分支的思考，例如图论、拓扑、计算机科学等。人们愿意研究四色问题，并不是为了真的用四种颜色填补地图，而是为了探讨“4”这个数字所体现出来的拓扑性质和数学内涵。
作为第一个由计算机辅助证明的数学定理，四色定理由最初的饱受质疑到广泛认可，这注定了它在数学史上的非凡地位。在人工智能飞速发展的今天，AI辅助数学证明成为了大多数学者关注的对象。尽管依然有人认为AI的形式化证明会破坏数学原始的美感，但不可否认的是先进的技术手段确实大幅度地简化了数学家的工作。或许我们应该质疑的并不是计算机本身，而是学者们使用计算机的态度和方法。
欧几里得在《几何原本》中将公元前 300 年的数学以一种近乎完美的语言定义了出来，呈现给后世一套直观严谨的几个系统。当时光来到 21 世纪，人们用精确的符号和机械的规则将数学翻译为计算机代码，这又何尝不是一次数学文化的传承和迭代呢？
提起企鹅，大部分人脑海中都会浮现出两种颜色，黑与白。肚皮是白的，背部和前鳍是黑的，不就是企鹅吗?可是仔细观察你就会发现，企鹅的种类繁多，羽毛的颜色也绝不止黑白两种。
阿德利企鹅属(Pygoscelis)
帽带企鹅，脖子底下有一条明显的黑色条纹，就像戴着帽子一样。故又称颊带企鹅，亦因为它们有这些特征，它们成为了最容易被辨认的企鹅之一。苏联人称之为“警官企鹅”，生活在南桑威奇群岛、南极洲、南奥克尼群岛、南设得兰、南乔治亚岛、布韦岛、巴勒尼群岛和彼得一世岛等地的企鹅。它们体长72厘米，成年的南极企鹅平均重约4千克。主要食物是磷虾、虾和鱼类。
巴布亚企鹅，也叫白眉企鹅、金图企鹅，体形较大，身长约60-80厘米，重约6公斤，眼睛上方有一个明显的白斑，嘴细长，嘴角呈红色，眼角处有一个红色的三角形，显得眉清目秀。因其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，因而俗称“绅士企鹅”。
阿德利企鹅，在企鹅家族中属中、小型种类，体长72-76厘米，和许多种类企鹅一样，雌鸟和雄鸟同形同色，从外形难以辨认。眼圈为白色，头部呈蓝绿色，嘴为黑色，嘴角有细长羽毛。羽毛由黑、白两色组成，头部、背部、尾部、翼背面、下颌为黑色，其余部分均为白色。阿德利企鹅的食物主要是鳞虾、乌贼和海洋鱼类。
冠企鹅属(Eudyptes)
史纳尔岛企鹅，也叫斯岛黄眉企鹅、响弦角企鹅，斯内斯凤头企鹅，分布于新西兰南部的斯奈尔斯群岛也在此地繁殖，也活动于塔斯马尼亚海域和澳大利亚南部。中型身材，高度在55-73厘米，主要食物是虾，鱿鱼和鱼。
峡湾企鹅，也称凤冠企鹅。黄眉企鹅体长55厘米左右，高40厘米，重3-4千克。头部、咽喉及身体上部为黑色，下部为白色。硫黄色冠从嘴基到眼部、一直长到头的背部。在头上或眼睛旁都有彩色的冠毛，唯一不同在他的眼睛下方有白斑。脚粉红色，厚粗短的鸟喙橙色。【我觉得和史纳尔岛企鹅一毛一样啊!】
竖冠企鹅又叫翘眉企鹅、直冠角企鹅，分布于澳大利亚和新西兰，体长70厘米，是唯一具有竖冠的冠企鹅。繁殖期分布于新西兰的奥克兰和坎贝尔群岛，其他时间活动于南极洲海域，性情友善。体长60厘米，重约4公斤。主要以磷虾、乌贼，小鱼为食。在泥洞中产两枚淡蓝色卵，只有1枚卵被孵化(另一枚卵会被踢出窝外)。世界自然保护联盟红色名录列为：濒危(EN)
马可罗尼企鹅体长约70cm，体重约5.5kg。双眼间有左右相连的橘色的装饰羽毛，由于头顶上那一撮撮像意大利面的羽毛，因而又名“通心面企鹅”，喙角有粉色的羽圈。和所有企鹅一样，马可罗尼企鹅拥有很强的潜水本领，但不会飞行。其外形很容易与凤头黄眉企鹅混淆。每到夏季时，成千上万的马可罗尼企鹅会游到南极海中，在布满岩砾的小岛上交配、繁殖。主要以磷虾为食，也捕食鱿鱼和小鱼。分布于南非到南美西部以及南极洲沿岸。
凤头黄眉企鹅共有3个亚种，体长55-65厘米，因眼睛上有一簇长长的黄色羽毛而被称为凤头黄眉企鹅，又因为喜欢以双脚跳跃的方式在岩石上前进而得名跳岩企鹅。分前肢发育成为鳍脚，适于划水。具鳞片状羽毛，羽轴宽而短，羽片狭窄而密集，均匀分布于体表。骨骼沉重而不充气，胸骨具有发达的龙骨突起，内含有多脂肪的骨髓。尾羽短。跗跖短，并移至躯体后方。跗间具蹼。上嘴的角质部由3～5个角质片组成。舌表面布满钉状乳头，适于取食磷虾和鱼类等。分布于南非到南美西部以及南极洲沿岸。
皇家企鹅又叫皇室企鹅，是澳属亚南极的码奎丽岛的独有品种，以磷虾、鱼和乌贼为食。皇家企鹅与马可罗尼角企鹅长得非常相像，只是马可罗尼角企鹅是黑脸，皇家企鹅是白脸，因此皇家企鹅看起来非常高贵，这也正是他名字的由来。
黄眼企鹅属(Megadyptes)
黄眼企鹅属企鹅科黄眼企鹅属是原住新西兰的企鹅。分布在新西兰的南岛、斯图尔特岛、奥克兰群岛及坎贝尔岛。黄眼企鹅主要以鱼为主食。位于奥塔哥半岛的群落是著名的旅游热点，很多游客会在此近距离观赏黄眼企鹅。黄眼企鹅是濒危物种，估计只有约4000只。
小蓝企鹅属(Eudyptula)
小蓝企鹅(神仙企鹅)，也称蓝企鹅，是世界上体型最小的企鹅物种，普遍身高43厘米，体重约为1千克，雄性的体型比雌性的略大一点。小蓝企鹅有一身蓝色的羽毛，也是唯一一种有蓝色羽毛的企鹅，因此被称作小蓝企鹅。其头部和背部呈靛蓝色，其耳部呈青灰色，到腹部则为白色。谭老师地理工作室综合整理其鳍外部为靛蓝色，内部的那一面则呈白色。喙为深灰黑色，长约3至4厘米，脚部朝天的一方为白色，脚底和蹼则呈黑色。小蓝企鹅出没于南澳大利亚及新西兰、智利的海岸，潜入的海域则非常广阔，捕食鱼类、鱿鱼及其他小型的水生动物。
环企鹅属(Spheniscus)
黑脚企鹅 (非洲企鹅、斑嘴环企鹅)，属鸟纲、企鹅目、企鹅科、环企鹅属动物。眼睛上方有粉红色的腺体，若气温过高，会有较多的血液流经此腺体，进行散热。是生活在非洲西南岸的企鹅，在纳米比亚至南非近伊丽莎白港的阿尔哥亚湾的24个岛上都有群族，最大的位于戴尔岛。黑脚企鹅的近亲是在南美洲南部的汉波德企鹅及麦哲伦企鹅及近赤道太平洋的加拉帕戈斯企鹅。黑脚企鹅平均寿命10岁。谭老师地理工作室综合整理
洪堡企鹅是中型企鹅，成鸟体长约65～70厘米。鳍状肢长约17厘米，体重约4公斤。寿命20年。洪堡企鹅除了身体颜色与其它种类的企鹅相仿外，最大的区别在于它的脸上有黑色的条纹。头部呈黑色，有一条白色宽带从眼后过耳朵一直延伸至下颌附近;下颌基部有一个肉粉红色条纹延伸至眼睛;背部、尾巴、脚和蹼均为黑色;有的背部带有白色斑点。有一道宽带环绕胸前如围着一条黑色的“围巾”。
麦哲伦企鹅，属鸟纲，是温带企鹅中最大的一个种类，主要分布在南美洲阿根廷、智利和福克兰群岛沿海，也有少量迁入巴西境内。它是环企鹅属中数量最多的一种，与同属中与非洲企鹅、洪氏环企鹅和加拉巴哥斯企鹅亲缘很近。食物为鱼、虾和甲壳类动物。注意它和黑脚企鹅的区别，在于颈部的白色宽带并未交汇在一起。
加拉帕戈斯企鹅，生活在赤道区，虽然受到秘鲁寒流的影响，其栖息地的气温远低于赤道附近的其他地区，但保持凉爽仍是令加拉帕戈斯企鹅头疼的问题，因此它们经常待在水中。
王企鹅属(Aptenodytes)
帝企鹅也称皇帝企鹅，是世界上最大的企鹅，一般身高在90厘米以上，最大可达到120厘米，体重可达50千克。其形态特征是脖子底下有一片橙黄色羽毛，向下逐渐变淡，耳朵后部最深。全身色泽协调。颈部为淡黄色，耳朵的羽毛鲜黄橘色，腹部乳白色，背部及鳍状肢则是黑色，鸟喙的下方是鲜桔色。帝企鹅在南极严寒的冬季冰上繁殖后代，雌企鹅每次产1枚蛋，雄企鹅孵蛋。雄帝企鹅双腿和腹部下方之间有一块布满血管的紫色皮肤的育儿袋，能让蛋在环境温度低达零下40摄氏度的低温中保持在舒适的36摄氏度。
国王企鹅，与同属的帝企鹅相比，体型稍小，嘴更长，颈部的颜色也更加鲜艳。也叫王企鹅，体长近1米，体重约15-16千克。颈侧有一明显的橘黄色斑块。前肢发育成为鳍脚，适于划水。国王企鹅虽然步行摇摇摆摆很笨拙，但遇到敌害时，可以将腹部贴于冰面，以双翅快速滑雪，后肢蹬行，速度很快。是群居性动物，饮食和居住都由很多个体聚集在一起。每当恶劣的气候来临，它们会挤在一起，防风御寒，以获得最大的保护。主要分布于南极洲及其附近岛屿。谭老师地理工作室综合整理
加拉帕戈斯企鹅——赤道企鹅
企鹅不是应该在南极吗?怎么和赤道扯上关系了。是的，在炎热的赤道附近，确实生活着一些体型较小的可爱企鹅，它们就是加拉帕戈斯企鹅。
在南美洲西北部厄瓜多尔附近，一个由几十个岛屿、岩礁组成的群岛——科隆群岛，那里就是加拉帕戈斯企鹅的老家。群岛原名叫加拉帕戈斯群岛，加拉帕戈斯企鹅也因此而得名。
全世界的企鹅大约有二十种，其中只有阿德利企鹅、帝企鹅等七种企鹅生活在南极，它们的数量也最多，大约有1.2亿只，占企鹅总数的87%。而更多种类的企鹅的家都是在南半球，加拉帕戈斯企鹅则是唯一一种生活在赤道地区的企鹅。
神奇的科隆岛
早在一百多年前，达尔文曾来到了荒凉的科隆群岛，在这里，他发现了许多不同寻常的动物物种，一些本应生活在寒带的动物，如企鹅和海豹，居然在岛上和热带动物并存。原来这里受秘鲁寒流影响，虽然地处赤道地区，但并不是我们想象中的终年高温多雨、植物繁茂的热带雨林环境。相反，这里的气温远低于赤道其他地区，气候凉爽，降水量也比较少，加上四周被大洋阻隔，于是，这里就成了世界上罕有的热带与寒带生物共存的乐园。有科学家推测，加拉帕戈斯企鹅的祖先原来也是生活在南极，只是后来随着寒流一路游到这里，觉得这里环境适宜，便定居下来。
生存妙招
加拉帕戈斯企鹅与南极企鹅相比，体形显得娇小，直立时的高度只有50厘米。科隆群岛上的气温最高能达到40℃。整个白天，加拉帕戈斯企鹅都泡在较冷的海水里，一边觅食，一边嬉戏，从南极来到这里的寒流不仅带来了凉爽的海水，还带来了大量的鱼群，直到夜幕降临，加拉帕戈斯企鹅才又回到陆地上。这时岛上的温度已经降下来，它们可以舒舒服服地休息了。
当加拉帕戈斯企鹅不得不暴露在洒满阳光的陆地上时，它们会弓着身子，用类似翅膀的鳍脚遮住下半身，让阳光只照在它们的背上。另外，它们还会像狗一样通过快速的喘气来散发身体的热量。
生存环境的重要
濒临灭绝始终是一些物种挥之不去的阴影。加拉帕戈斯企鹅也正面临着灭绝的危险。它们的数量仅有1300只左右，而且还在逐年减少。自然条件的改变是其中不容忽视的原因。
八十年代的两次厄尔尼诺现象，就使加拉帕戈斯企鹅的数量锐减了65%，温暖的海水使成年的加拉帕戈斯企鹅觅食更加困难。为了生存，它们有时不得不抛弃需要它们喂养和照顾的企鹅幼崽。
所以保护环境，爱护环境，不仅是保护我们人类自己，也是保护这些美丽脆弱的生灵，维护着生态平衡。
企鹅能在-60℃的严寒中生活、繁殖。在陆地上，它活像身穿燕尾服的西方绅士，走起路来，一摇一摆，遇到危险，连跌带爬，狼狈不堪。可是在水里，企鹅那短小的翅膀成了一双强有力的“划桨”，游速可达每小时25-30千米。一天可游160千米。主要以磷虾、乌贼，小鱼为食。大多数都分布在南半球。
企鹅通常住在赤道以南，人迹罕至的地方才能看见它们。有些企鹅住在寒冷地方，有些企鹅住在热带地方。但企鹅其实并不喜欢热天气，只有在寒冷的气候中，它们才会快活。所以，在遥远遥远的南极洲沿岸冰冷的洋里，那儿住着最多的企鹅。
企鹅有不同的类型，分布也不同。
总结：
1.帝企鹅及阿德利企鹅完全生活在南极；
2.加拉帕戈斯企鹅是真正的热带企鹅，它们在炎热的赤道附近的孤岛上繁殖，当地的气温高达40℃，海水表面的温度也可达到14～29℃。即便如此，加拉帕戈斯企鹅也和其它企鹅一样，在冷水中寻觅食物和繁殖。是所有企鹅中分布最北端的企鹅，是唯一野生于赤道北部的企鹅。
百分之九十的加拉帕戈斯企鹅住在西科隆群岛的伊莎贝拉岛和费南蒂娜岛上，但在圣地亚哥岛、巴托罗梅岛、圣克鲁斯省北部及佛罗里那岛也有分布。
由于受到秘鲁寒流和克伦威尔洋流的共同影响，科隆群岛的环境气温远低于赤道其他地区，这才使得加拉帕戈斯企鹅可以在此生存。
它们白天在冷水中寻找食物，用冷水保持身体的温度；夜晚则在陆地上度过。天热时，把鳍脚伸展开来以增大热量的散失，在非常炎热的气温下，它们会像狗一样通过快速的喘气来散发身体的热量或者从身体的末端散失热量。当天气太热时，那些没有繁殖的企鹅便不再留在陆地上，而是跳入水中。
3.黑脚企鹅，又名非洲企鹅，是生活在非洲西南岸的企鹅，在纳米比亚至南非近伊莉莎白港的阿尔哥亚湾的24个岛上都有群族，最大的位于戴尔岛。
5G备考资源，随问随答，专题设计，优质课件，请扫码加入知识星球
推荐关注防失联纯地理知识公众号——谭老师讲地理
注：本文由谭老师地理工作室综合自各地理公众号等，一并致谢！若引用不当可以随时文末留言联系注明来源或删除，欢迎大家标注来源转载、文末点击分享、收藏、点赞、在看就是我们更新的动力！点击阅读原文，获取更多内容。返回搜狐，查看更多